слово появляется в языке позднее, чем мовьня, мовьница - встречается в Софийском временнике 1534 г.

"Слово баня в значении 'специальная постройка для мытья’ употребляется в двинских и важских документах лишь с середины XVI в. Первая фиксация, по обследованным рукописям, — в купчей 1551 г.: «баня земная». До середины XVI в. в том же значении в двинских, поморских и пинежских документах употребляется слово мыльня (отмечены также формы мыльна и мыльно). Этот термин был широко распространен в XVI в., по крайней мере в северных районах рассматриваемой территории: имеется свыше 30 фиксаций из самых разнообразных по содержанию документов. Какое-то время слова баня и мыльня сосуществуют, соседствуя иногда в одном и том же тексте. Окончательно исчезает термин мыльня из документов, уступая место слову баня, к концу XVI в."